Parametr w obu kawałkach funkcji sklejanej - równanie kwadratowe i dwie wartości m

Krok 1. Gdzie może być problem. Dla każdego ustalonego $m$ oba kawałki są funkcjami liniowymi, więc są ciągłe. Jedyny punkt do zbadania to punkt sklejenia $x_0 = 2$.

Krok 2. Granice i wartość w punkcie 2.

$\lim_{x \to 2^-} (mx + 4) = 2m + 4, \qquad \lim_{x \to 2^+} (m^2 x - 8) = 2m^2 - 8 = f(2)$

Granica prawostronna jest równa wartości (punkt $2$ należy do drugiego kawałka), więc wystarczy równość granic jednostronnych.

Krok 3. Równanie z parametrem.

$2m + 4 = 2m^2 - 8 \iff 2m^2 - 2m - 12 = 0 \iff m^2 - m - 6 = 0$

$\Delta = 1 + 24 = 25$, więc $m = \frac{1 - 5}{2} = -2$ lub $m = \frac{1 + 5}{2} = 3$.

Krok 4. Sprawdzenie.

• $m = 3$: $f(x) = 3x + 4$ dla $x < 2$ i $9x - 8$ dla $x \geq 2$; w punkcie $2$: $10 = 10$.
• $m = -2$: $f(x) = -2x + 4$ dla $x < 2$ i $4x - 8$ dla $x \geq 2$; w punkcie $2$: $0 = 0$.

Odpowiedź. $m = -2$ lub $m = 3$.

Pułapka. Łatwo podać tylko jedno rozwiązanie (np. „zgadnięte” $m = 3$). Warunek ciągłości jest tu równaniem kwadratowym, więc trzeba je rozwiązać do końca.