Skok funkcji (x² − 4)/|x − 2| - ciągłość jednostronna przy wartości bezwzględnej

Szkoła średnia średnie

Dana jest funkcja

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 4}{|x - 2|} & \text{dla } x \neq 2 \\ 4 & \text{dla } x = 2 \end{cases}$

Zbadaj, czy $f$ jest ciągła w punkcie $x_0 = 2$ , oraz czy jest w tym punkcie ciągła lewostronnie lub prawostronnie. Czy można tak zmienić wartość $f(2)$ , aby funkcja była ciągła?

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Rozpisujemy wartość bezwzględną. Dla $x > 2$ mamy $|x - 2| = x - 2$ , a dla $x < 2$ mamy $|x - 2| = -(x - 2)$ . Licznik rozkładamy: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ . Zatem

$x > 2: \quad f(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2$

$x < 2: \quad f(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)}{-(x - 2)} = -(x + 2)$

Krok 2. Granice jednostronne.

$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x + 2) = 4, \qquad \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \big(-(x + 2)\big) = -4$

Krok 3. Wnioski. Granice jednostronne są skończone i różne, więc granica w punkcie $2$ nie istnieje i $f$ nie jest ciągła w $x_0 = 2$ (skok o $8$ ). Wartość $f(2) = 4$ jest równa granicy prawostronnej, więc $f$ jest prawostronnie ciągła, a lewostronnie - nie ( $-4 \neq 4$ ).

f(x) = (x² − 4)/|x − 2| dla x ≠ 2 i f(2) = 4: na lewo od 2 wykres to y = −x − 2, na prawo y = x + 2. Skok o 8.

Krok 4. Zmiana wartości. Ciągłość wymaga, by wartość była równa granicy. Tu granicy nie ma, więc żadna liczba wpisana jako $f(2)$ nie sprawi, że funkcja będzie ciągła. Można co najwyżej wybrać, z której strony ma być ciągła: $f(2) = -4$ dałoby ciągłość lewostronną.

Odpowiedź. $f$ nie jest ciągła w $x_0 = 2$ ; jest w tym punkcie prawostronnie ciągła, ale nie lewostronnie. Zmiana wartości $f(2)$ nie przywróci ciągłości, bo to nieciągłość typu skok, a nie nieciągłość usuwalna.

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →