Nieciągłość usuwalna - funkcja wymierna z osobno określoną wartością f(2) = 5

Krok 1. Wartość. Z drugiego wiersza wzoru $f(2) = 5$.

Krok 2. Granica - symbol 0/0. Podstawienie $x = 2$ do ułamka daje $\frac{4 + 4 - 8}{0} = \frac{0}{0}$. Licznik zeruje się dla $x = 2$, więc dzieli się przez $(x - 2)$. Trójmian $x^2 + 2x - 8$ ma pierwiastki $2$ i $-4$:

$x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)$

Krok 3. Skracamy i podstawiamy. Przy liczeniu granicy $x \neq 2$, więc wolno skrócić:

$\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 4)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 4) = 6$

Krok 4. Porównanie. Granica istnieje i wynosi $6$, a wartość $f(2) = 5$. Warunek $\lim\limits_{x \to 2} f(x) = f(2)$ nie jest spełniony.

Odpowiedź. Funkcja nie jest ciągła w $x_0 = 2$ - to nieciągłość usuwalna (granica istnieje, ale jest różna od wartości). Gdyby przyjąć $f(2) = 6$, funkcja byłaby ciągła w punkcie $2$, a więc w całym $\mathbb{R}$.