Długość rzutu prostokątnego odcinka na płaszczyznę - końce w różnych odległościach

Krok 1. Co to jest rzut prostokątny. Rzut prostokątny punktu $A$ na płaszczyznę $\pi$ to spodek $A'$ prostopadłej opuszczonej z $A$ na $\pi$. Odcinki $AA'$ i $BB'$ są prostopadłe do $\pi$, więc są równoległe i leżą w jednej płaszczyźnie z $AB$ - czworokąt $AA'B'B$ to trapez prostokątny.

Krok 2. Trójkąt prostokątny w części a). Prowadzimy $AK \parallel A'B'$, gdzie $K$ leży na $BB'$. Wtedy $|AK| = |A'B'|$ i $|BK| = 9 - 3 = 6$. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $AKB$:

$|A'B'| = |AK| = \sqrt{|AB|^2 - |BK|^2} = \sqrt{100 - 36} = 8.$

Krok 3. Część b) - końce po różnych stronach. Teraz odcinek przebija płaszczyznę. Prowadzimy przez $C$ prostą równoległą do rzutu $C'D'$ aż do przecięcia z przedłużeniem $DD'$ w punkcie $L$. Odcinek $DL$ ma długość równą sumie odległości: $|DL| = 3 + 2 = 5$, a $|CL| = |C'D'|$:

$|C'D'| = \sqrt{|CD|^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = 12.$

Odpowiedź. a) $8$; b) $12$. Przy końcach po tej samej stronie odejmujemy odległości, po różnych stronach - dodajemy.