Kąt między prostymi skośnymi w prostopadłościanie - cosinus kąta

Krok 1. Przekątne podstawy. Podstawa jest prostokątem $4 \times 3$, więc

$|AC| = |BD| = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5.$

Krok 2. Para a) - przesuwamy B₁D₁. Czworokąt $BDD_1B_1$ jest prostokątem, więc $B_1D_1 \parallel BD$. Kąt między $AC$ i $B_1D_1$ jest równy kątowi między przekątnymi $AC$ i $BD$, które przecinają się w środku $O$ podstawy. Przekątne prostokąta dzielą się na połowy: $|AO| = |DO| = 2{,}5$.

Krok 3. Twierdzenie cosinusów w trójkącie AOD. Kąt ostry między przekątnymi leży naprzeciw krótszego boku $|AD| = 3$:

$3^2 = 2{,}5^2 + 2{,}5^2 - 2 \cdot 2{,}5 \cdot 2{,}5 \cos\varphi \quad\Longrightarrow\quad \cos\varphi = \frac{6{,}25 + 6{,}25 - 9}{12{,}5} = \frac{3{,}5}{12{,}5} = \frac{7}{25}.$

Stąd $\varphi \approx 73{,}7^\circ$.

Krok 4. Para b) - przesuwamy AA₁. Krawędź $AA_1$ jest równoległa do $DD_1$, a $DD_1$ ma z $BD_1$ wspólny punkt $D_1$. Szukany kąt to $\psi = \angle DD_1B$.

Krok 5. Trójkąt prostokątny BDD₁. Krawędź $DD_1$ jest prostopadła do podstawy, więc kąt $BDD_1$ jest prosty. Przekątna prostopadłościanu:

$|BD_1| = \sqrt{|BD|^2 + |DD_1|^2} = \sqrt{25 + 144} = 13, \qquad \cos\psi = \frac{|DD_1|}{|BD_1|} = \frac{12}{13}.$

Stąd $\psi \approx 22{,}6^\circ$.

Odpowiedź. a) $\cos\varphi = \frac{7}{25}$, $\varphi \approx 73{,}7^\circ$; b) $\cos\psi = \frac{12}{13}$, $\psi \approx 22{,}6^\circ$.