Odległość punktu od prostej - twierdzenie o trzech prostych prostopadłych

Krok 1. Twierdzenie o trzech prostych prostopadłych. Jeżeli prosta $PA$ jest prostopadła do płaszczyzny, $PC$ jest ukośną, a $AC$ - jej rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę, to prosta $BC$ leżąca w płaszczyźnie jest prostopadła do rzutu $AC$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do ukośnej $PC$.

Krok 2. Stosujemy twierdzenie. Rzutem odcinka $PC$ na płaszczyznę $ABC$ jest $AC$ (bo $PA \perp ABC$). Z treści $AC \perp BC$, więc także $PC \perp BC$. Odległość punktu $P$ od prostej $BC$ to zatem długość odcinka $PC$.

Krok 3. Długość PC. Trójkąt $PAC$ jest prostokątny (kąt prosty przy $A$, bo $PA$ jest prostopadła do każdej prostej płaszczyzny $ABC$):

$|PC| = \sqrt{|PA|^2 + |AC|^2} = \sqrt{16 + 9} = 5.$

Krok 4. Długość PB. Z kroku 2 trójkąt $PCB$ ma kąt prosty przy $C$:

$|PB| = \sqrt{|PC|^2 + |BC|^2} = \sqrt{25 + 25} = 5\sqrt{2}.$

Sprawdzenie innym sposobem: $|AB|^2 = 9 + 25 = 34$ i w trójkącie prostokątnym $PAB$: $|PB|^2 = 16 + 34 = 50$, czyli $|PB| = 5\sqrt{2}$. Zgadza się.

Odpowiedź. Odległość punktu $P$ od prostej $BC$ wynosi $5$, a $|PB| = 5\sqrt{2}$.