Kąt między prostymi skośnymi w sześcianie - przekątne dwóch sąsiednich ścian

Krok 1. Jak mierzymy kąt między prostymi skośnymi. Przez dowolny punkt jednej prostej prowadzimy prostą równoległą do drugiej. Kąt między prostymi skośnymi to kąt ostry (albo prosty) między otrzymanymi prostymi przecinającymi się.

Krok 2. Prosta równoległa do B₁C. Czworokąt $A_1B_1CD$ ma boki $A_1B_1$ i $DC$ równoległe i równe (obie są krawędziami sześcianu tego samego kierunku), więc jest równoległobokiem - nawet prostokątem. Stąd $B_1C \parallel A_1D$. Prosta $A_1D$ przechodzi przez punkt $A_1$ prostej $A_1B$.

Krok 3. Trójkąt A₁BD. Szukany kąt to $\varphi = \angle BA_1D$. Boki trójkąta $A_1BD$ to przekątne trzech ścian sześcianu o krawędzi $a$:

$|A_1B| = |A_1D| = |BD| = a\sqrt{2}.$

Trójkąt jest równoboczny, więc każdy jego kąt ma $60^\circ$.

Odpowiedź. Kąt między prostymi $A_1B$ i $B_1C$ wynosi $60^\circ$.