Ile jest par prostych skośnych zawierających krawędzie sześcianu?

Krok 1. Krawędzie równoległe do AB. Krawędzie sześcianu mają tylko trzy kierunki - po $4$ krawędzie w każdym. Kierunek $AB$ mają: $AB$, $DC$, $A_1B_1$, $D_1C_1$. Poza samą $AB$ równoległe są więc $3$ krawędzie.

Krok 2. Krawędzie przecinające AB. W każdym wierzchołku sześcianu schodzą się $3$ krawędzie. Z wierzchołka $A$ poza $AB$ wychodzą $AD$ i $AA_1$, z wierzchołka $B$ - $BC$ i $BB_1$. To $4$ krawędzie.

Krok 3. Krawędzie skośne do AB. Zostaje

$12 - 1 - 3 - 4 = 4$

krawędzie: $A_1D_1$, $B_1C_1$, $CC_1$, $DD_1$. Żadna z nich nie ma z $AB$ wspólnego punktu i żadna nie jest do niej równoległa, więc wszystkie są skośne do $AB$.

Krok 4. Liczba par. Sześcian jest symetryczny, więc każda krawędź ma dokładnie $4$ krawędzie skośne. Iloczyn $12 \cdot 4 = 48$ liczy każdą parę dwa razy (para $AB$ i $CC_1$ pojawia się raz przy $AB$ i raz przy $CC_1$), dlatego

$\frac{12 \cdot 4}{2} = 24.$

Odpowiedź. a) $3$ krawędzie równoległe, $4$ przecinające, $4$ skośne; b) $24$ pary prostych skośnych.