Prosta prostopadła do płaszczyzny w graniastosłupie prawidłowym - uzasadnij, że BD ⊥ AC₁

Szkoła średnia średnie

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny $ABCDA_1B_1C_1D_1$ - jego podstawy są kwadratami, a krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw (to samo rozumowanie działa w sześcianie).

a) Uzasadnij, że prosta $BD$ jest prostopadła do płaszczyzny $ACC_1A_1$ .

b) Wywnioskuj stąd, że proste $BD$ i $AC_1$ są prostopadłe. Jakie to proste - przecinające się czy skośne?

Przekrój ACC₁A₁ (wypełniony), przekątna podstawy BD przebija go w środku O podstawy.

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Warunek prostopadłości prostej do płaszczyzny. Prosta jest prostopadła do płaszczyzny, gdy jest prostopadła do dwóch prostych przecinających się, leżących w tej płaszczyźnie. Wystarczy więc znaleźć w płaszczyźnie $ACC_1A_1$ dwie takie proste.

Krok 2. Pierwsza prosta: AC. $AC$ i $BD$ to przekątne kwadratu $ABCD$ , a przekątne kwadratu są prostopadłe: $BD \perp AC$ .

Krok 3. Druga prosta: AA₁. Krawędź boczna $AA_1$ jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, więc jest prostopadła do każdej prostej tej płaszczyzny, także do $BD$ : $BD \perp AA_1$ .

Krok 4. Wniosek a). Proste $AC$ i $AA_1$ leżą w płaszczyźnie $ACC_1A_1$ i przecinają się w punkcie $A$ . Prosta $BD$ jest prostopadła do obu, więc $BD \perp$ płaszczyzny $ACC_1A_1$ .

Krok 5. Wniosek b). Prosta prostopadła do płaszczyzny jest prostopadła do każdej prostej tej płaszczyzny. Przekątna $AC_1$ leży w płaszczyźnie $ACC_1A_1$ , więc $BD \perp AC_1$ . Proste $BD$ i $AC_1$ nie mają punktu wspólnego: $BD$ przebija płaszczyznę $ACC_1A_1$ tylko w punkcie $O$ (środek podstawy), a $O$ nie leży na $AC_1$ . Są więc skośne i tworzą kąt $90^\circ$ .

Odpowiedź. a) $BD \perp AC$ i $BD \perp AA_1$ , a $AC$ , $AA_1$ to dwie przecinające się proste płaszczyzny $ACC_1A_1$ ; b) $BD \perp AC_1$ - to proste skośne prostopadłe.

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →