Wzajemne położenie prostych w sześcianie - równoległe, przecinające się czy skośne

Dwie proste w przestrzeni mogą być równoległe (leżą w jednej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych albo się pokrywają), przecinające się (mają dokładnie jeden punkt wspólny) albo skośne (nie istnieje płaszczyzna, która zawiera obie). Dla każdej pary szukamy więc wspólnej płaszczyzny.

Krok 1. Para a). Ściana $ABCD$ jest kwadratem, więc $AB \parallel DC$. Ściana $DCC_1D_1$ też jest kwadratem, więc $DC \parallel D_1C_1$. Dwie proste równoległe do trzeciej są równoległe: $AB \parallel C_1D_1$. Obie leżą w płaszczyźnie przekroju $ABC_1D_1$.

Krok 2. Para b). Prosta $CC_1$ przebija płaszczyznę podstawy $ABCD$ tylko w punkcie $C$, a punkt $C$ nie leży na prostej $AB$. Proste nie mają więc punktu wspólnego. Nie są też równoległe, bo $CC_1$ jest prostopadła do podstawy, a $AB$ w niej leży. Proste, które się nie przecinają i nie są równoległe, są skośne.

Krok 3. Para c). $AC$ i $BD$ to przekątne kwadratu $ABCD$ - przecinają się w jego środku, i to pod kątem prostym.

Krok 4. Para d). Punkty $A$, $C$, $C_1$, $A_1$ leżą w jednej płaszczyźnie - to prostokąt $ACC_1A_1$ (przekrój przekątny sześcianu). Proste $A_1C$ i $AC_1$ są przekątnymi tego prostokąta, więc przecinają się - w środku sześcianu.

Krok 5. Para e). Prosta $BD$ leży w płaszczyźnie dolnej podstawy, a $A_1C_1$ - w płaszczyźnie górnej podstawy. Te płaszczyzny są równoległe, więc proste nie mają punktu wspólnego. Równoległe też nie są, bo $A_1C_1 \parallel AC$, a $AC$ przecina $BD$. Zatem $BD$ i $A_1C_1$ są skośne. Kąt między nimi to kąt między $BD$ i $AC$, czyli $90^\circ$.

Odpowiedź. a) równoległe, b) skośne, c) przecinające się (prostopadle), d) przecinające się, e) skośne (prostopadłe, kąt $90^\circ$).