Indukcja matematyczna - suma iloczynów kolejnych liczb 1·2 + 2·3 + ...

Krok 1. Sprawdzenie dla n = 1 (baza). Lewa strona: $1 \cdot 2 = 2$. Prawa strona: $\frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3} = 2$. Wzór zachodzi.

Krok 2. Założenie i teza. Zakładamy, że dla pewnego $k \ge 1$

$1 \cdot 2 + \ldots + k(k + 1) = \frac{k(k + 1)(k + 2)}{3}.$

Teza (kolejny składnik to $(k + 1)(k + 2)$):

$1 \cdot 2 + \ldots + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = \frac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{3}.$

Krok 3. Dowód kroku. Korzystamy z założenia i wyłączamy wspólny czynnik $(k + 1)(k + 2)$:

$\frac{k(k + 1)(k + 2)}{3} + (k + 1)(k + 2) = (k + 1)(k + 2)\left(\frac{k}{3} + 1\right) = \frac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{3}.$

To jest teza. Warto zauważyć, że nie trzeba było niczego wymnażać - wyłączenie czynnika przed nawias od razu daje postać iloczynową.

Odpowiedź. Na mocy zasady indukcji matematycznej $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \ldots + n(n + 1) = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}$ dla każdego $n \ge 1$. Na przykład dla $n = 3$: $2 + 6 + 12 = 20 = \frac{3 \cdot 4 \cdot 5}{3}$.