Indukcja matematyczna - dowód wzoru na sumę kwadratów

Krok 1. Sprawdzenie dla n = 1 (baza). Lewa strona to $1^2 = 1$, a prawa

$\frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1.$

Obie strony są równe, więc wzór zachodzi dla $n = 1$.

Krok 2. Założenie i teza. Zakładamy, że dla pewnego $k \ge 1$ zachodzi

$1^2 + 2^2 + \ldots + k^2 = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}.$

Mamy udowodnić, że wtedy wzór zachodzi także dla $k + 1$, czyli

$1^2 + 2^2 + \ldots + k^2 + (k + 1)^2 = \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6}.$

Krok 3. Dowód kroku. Pierwsze $k$ składników lewej strony zastępujemy wzorem z założenia:

$1^2 + \ldots + k^2 + (k + 1)^2 = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + (k + 1)^2.$

Wyłączamy wspólny czynnik $\frac{k + 1}{6}$:

$\frac{k + 1}{6}\left[k(2k + 1) + 6(k + 1)\right] = \frac{k + 1}{6}\left(2k^2 + 7k + 6\right).$

Trójmian w nawiasie rozkładamy na czynniki: $2k^2 + 7k + 6 = (k + 2)(2k + 3)$ (sprawdź, wymnażając). Stąd

$1^2 + \ldots + (k + 1)^2 = \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6},$

a to jest dokładnie teza.

Odpowiedź. Wzór zachodzi dla $n = 1$, a z jego prawdziwości dla $k$ wynika prawdziwość dla $k + 1$. Na mocy zasady indukcji matematycznej $1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ dla każdego $n \ge 1$.