Indukcja matematyczna - suma teleskopowa 1/(k(k+1))

Krok 1. Sprawdzenie dla n = 1 (baza). Lewa strona: $\frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2}$. Prawa strona: $\frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$. Wzór zachodzi.

Krok 2. Założenie i teza. Zakładamy, że dla pewnego $k \ge 1$

$\frac{1}{1 \cdot 2} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} = \frac{k}{k + 1}.$

Teza:

$\frac{1}{1 \cdot 2} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k + 1}{k + 2}.$

Krok 3. Dowód kroku. Z założenia lewa strona tezy jest równa

$\frac{k}{k + 1} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k(k + 2) + 1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k^2 + 2k + 1}{(k + 1)(k + 2)}.$

Licznik to $(k + 1)^2$, więc skracamy przez $k + 1$:

$\frac{(k + 1)^2}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k + 1}{k + 2}.$

To jest teza.

Odpowiedź. Na mocy zasady indukcji matematycznej wzór zachodzi dla każdego $n \ge 1$.

Ten sam wynik da się otrzymać bez indukcji: $\frac{1}{k(k + 1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$, więc w sumie prawie wszystkie składniki się redukują („teleskopują”) i zostaje $1 - \frac{1}{n + 1}$.