Indukcja matematyczna - suma kolejnych potęg trójki

Krok 1. Sprawdzenie dla n = 1 (baza). Po lewej stronie jest jeden składnik: $3^0 = 1$. Prawa strona: $\frac{3^1 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Wzór zachodzi.

Krok 2. Założenie i teza. Zakładamy, że dla pewnego $k \ge 1$

$1 + 3 + \ldots + 3^{k - 1} = \frac{3^k - 1}{2}.$

Teza (kolejnym składnikiem jest $3^k$):

$1 + 3 + \ldots + 3^{k - 1} + 3^k = \frac{3^{k + 1} - 1}{2}.$

Krok 3. Dowód kroku. Z założenia

$1 + 3 + \ldots + 3^{k - 1} + 3^k = \frac{3^k - 1}{2} + 3^k = \frac{3^k - 1 + 2 \cdot 3^k}{2} = \frac{3 \cdot 3^k - 1}{2}.$

Ponieważ $3 \cdot 3^k = 3^{k + 1}$, otrzymujemy $\frac{3^{k + 1} - 1}{2}$ - czyli tezę.

Odpowiedź. Na mocy zasady indukcji matematycznej wzór zachodzi dla każdego $n \ge 1$. To szczególny przypadek wzoru na sumę ciągu geometrycznego $S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$ dla $a_1 = 1$, $q = 3$ (zob. ciąg geometryczny).