Indukcja matematyczna - suma z silnią 1·1! + 2·2! + ... + n·n!

Krok 1. Sprawdzenie dla n = 1 (baza). Lewa strona: $1 \cdot 1! = 1$. Prawa strona: $2! - 1 = 2 - 1 = 1$. Wzór zachodzi.

Krok 2. Założenie i teza. Zakładamy, że dla pewnego $k \ge 1$

$1 \cdot 1! + \ldots + k \cdot k! = (k + 1)! - 1.$

Teza:

$1 \cdot 1! + \ldots + k \cdot k! + (k + 1) \cdot (k + 1)! = (k + 2)! - 1.$

Krok 3. Dowód kroku. Z założenia lewa strona tezy jest równa

$(k + 1)! - 1 + (k + 1) \cdot (k + 1)! = (k + 1)! \cdot \left(1 + (k + 1)\right) - 1 = (k + 1)! \cdot (k + 2) - 1.$

Z definicji silni $(k + 2) \cdot (k + 1)! = (k + 2)!$, więc lewa strona to $(k + 2)! - 1$ - czyli teza.

Odpowiedź. Na mocy zasady indukcji matematycznej $1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + \ldots + n \cdot n! = (n + 1)! - 1$ dla każdego $n \ge 1$. Kluczowy był krok $(k + 1)! + (k + 1)(k + 1)! = (k + 2)!$ - wyłączenie silni przed nawias.