Indukcja matematyczna - suma sześcianów kolejnych liczb

Krok 1. Sprawdzenie dla n = 1 (baza). Lewa strona: $1^3 = 1$. Prawa strona:

$\left(\frac{1 \cdot 2}{2}\right)^2 = 1^2 = 1.$

Wzór zachodzi dla $n = 1$.

Krok 2. Założenie i teza. Zakładamy, że dla pewnego $k \ge 1$

$1^3 + \ldots + k^3 = \frac{k^2(k + 1)^2}{4}.$

Teza (dla $k + 1$):

$1^3 + \ldots + k^3 + (k + 1)^3 = \frac{(k + 1)^2(k + 2)^2}{4}.$

Krok 3. Dowód kroku. Korzystamy z założenia:

$1^3 + \ldots + (k + 1)^3 = \frac{k^2(k + 1)^2}{4} + (k + 1)^3.$

Wyłączamy $\frac{(k + 1)^2}{4}$ przed nawias:

$\frac{(k + 1)^2}{4}\left[k^2 + 4(k + 1)\right] = \frac{(k + 1)^2}{4}\left(k^2 + 4k + 4\right).$

W nawiasie jest kwadrat sumy: $k^2 + 4k + 4 = (k + 2)^2$. Otrzymujemy

$1^3 + \ldots + (k + 1)^3 = \frac{(k + 1)^2(k + 2)^2}{4},$

czyli tezę.

Odpowiedź. Na mocy zasady indukcji matematycznej $1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ dla każdego $n \ge 1$. Na przykład dla $n = 4$: $1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 10^2$.