Kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego

Szkoła średnia trudne

Wszystkie krawędzie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego $ABCDS$ mają długość $6$ . Oblicz cosinus kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi $ABS$ i $CBS$ i podaj przybliżoną miarę tego kąta.

AK ⊥ SB i CK ⊥ SB (K - środek SB), więc φ = ∠AKC jest kątem między ścianami ABS i CBS.

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Kąt liniowy przy krawędzi SB. Obie ściany są trójkątami równobocznymi o boku $6$ . Wysokości opuszczone z $A$ i z $C$ na wspólną krawędź $SB$ trafiają w jej środek $K$ , więc $AK \perp SB$ i $CK \perp SB$ . Kąt między ścianami to $\varphi = \angle AKC$ .

Krok 2. Boki trójkąta AKC.

$|AK| = |CK| = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}, \qquad |AC| = 6\sqrt{2}.$

Trójkąt AKC: ramiona 3√3, podstawa 6√2. Kąt φ przy K jest rozwarty.

Krok 3. Twierdzenie cosinusów w trójkącie $AKC$ :

$|AC|^2 = |AK|^2 + |CK|^2 - 2|AK||CK|\cos\varphi \quad\Longrightarrow\quad 72 = 27 + 27 - 54\cos\varphi \quad\Longrightarrow\quad \cos\varphi = -\frac{18}{54} = -\frac{1}{3}.$

Krok 4. Miara kąta. Cosinus jest ujemny, więc kąt jest rozwarty. Kąt ostry o cosinusie $\frac{1}{3}$ ma około $70{,}5^\circ$ , zatem $\varphi \approx 180^\circ - 70{,}5^\circ = 109{,}5^\circ$ . Kąt między płaszczyznami ścian (jako kąt między płaszczyznami) to kąt ostry $70{,}5^\circ$ , ale kąt dwuścienny wewnątrz ostrosłupa ma $109{,}5^\circ$ .

Odpowiedź. $\cos\varphi = -\frac{1}{3}$ , kąt dwuścienny między sąsiednimi ścianami bocznymi ma około $109{,}5^\circ$ .

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →