Kąt dwuścienny czworościanu foremnego - cosinus kąta między ścianą a podstawą równy 1/3

Krok 1. Kąt liniowy. Wszystkie ściany czworościanu foremnego to trójkąty równoboczne, a ostrosłup jest prawidłowy: spodek $O$ wysokości jest środkiem podstawy. Dla krawędzi $AB$ bierzemy jej środek $M$: $SM \perp AB$ i $OM \perp AB$, więc $\alpha = \angle OMS$.

Krok 2. Długości OM i SM. $SM$ to wysokość trójkąta równobocznego (ściany), a $OM$ - jedna trzecia wysokości podstawy:

$|SM| = \frac{a\sqrt{3}}{2}, \qquad |OM| = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}.$

Krok 3. Cosinus kąta w trójkącie prostokątnym $OMS$:

$\cos\alpha = \frac{|OM|}{|SM|} = \frac{a\sqrt{3}/6}{a\sqrt{3}/2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.$

Krok 4. Miara kąta. $\cos\alpha = \frac{1}{3} \approx 0{,}3333$. Z tablic $\cos 70^\circ \approx 0{,}3420$ i $\cos 71^\circ \approx 0{,}3256$, więc $\alpha \approx 70{,}5^\circ$. Każda para ścian czworościanu foremnego tworzy ten sam kąt - wszystkie ściany są równoprawne.

Odpowiedź. $\cos\alpha = \frac{1}{3}$, $\alpha \approx 70{,}5^\circ$. Wynik nie zależy od długości krawędzi.