Kąt między płaszczyzną przekroju a podstawą graniastosłupa prawidłowego trójkątnego

Krok 1. Kąt liniowy. Krawędzią kąta jest $AB$. Niech $M$ będzie środkiem $AB$. W trójkącie równobocznym $ABC$ odcinek $MC$ jest wysokością, więc $MC \perp AB$. Trójkąt $ABC_1$ jest równoramienny ($|AC_1| = |BC_1|$), więc też $MC_1 \perp AB$. Szukany kąt to $\alpha = \angle CMC_1$.

Krok 2. Tangens kąta. Trójkąt $MCC_1$ jest prostokątny przy $C$:

$|MC| = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}, \qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{|CC_1|}{|MC|} = \frac{9}{3\sqrt{3}} = \sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 60^\circ.$

Krok 3. Pole przekroju - trójkąta $ABC_1$ o podstawie $6$ i wysokości $|MC_1|$:

$|MC_1| = \sqrt{27 + 81} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}, \qquad P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3}.$

Krok 4. Sprawdzenie drugim sposobem. Rzutem przekroju na podstawę jest trójkąt $ABC$, a pole rzutu równa się polu figury razy cosinus kąta nachylenia: $P_{ABC} = P \cos\alpha$. Stąd $P = \frac{9\sqrt{3}}{\cos 60^\circ} = 18\sqrt{3}$. Zgadza się.

Odpowiedź. Kąt między płaszczyzną przekroju a podstawą wynosi $60^\circ$, pole przekroju $18\sqrt{3}$.