Kąt między płaszczyzną ACD₁ a podstawą sześcianu - tangens i pole przekroju

Krok 1. Kształt przekroju. Przekrój to trójkąt $ACD_1$. Jego boki to przekątne trzech ścian sześcianu, każda długości $4\sqrt{2}$ - trójkąt jest równoboczny.

Krok 2. Kąt liniowy. Krawędzią kąta jest $AC$. Niech $O$ będzie środkiem podstawy (i środkiem $AC$). Przekątne kwadratu są prostopadłe, więc $OD \perp AC$; w trójkącie równobocznym $ACD_1$ środkowa $OD_1$ jest wysokością, więc $OD_1 \perp AC$. Szukany kąt to $\alpha = \angle DOD_1$.

Krok 3. Tangens. Trójkąt $ODD_1$ jest prostokątny przy $D$, $|OD| = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$:

$\operatorname{tg}\alpha = \frac{|DD_1|}{|OD|} = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1{,}4142.$

Z tablic $\operatorname{tg}54^\circ \approx 1{,}3764$ i $\operatorname{tg}55^\circ \approx 1{,}4281$, więc $\alpha \approx 55^\circ$ (dokładniej $54{,}7^\circ$).

Krok 4. Pole przekroju.

$P = \frac{(4\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{32\sqrt{3}}{4} = 8\sqrt{3}.$

Odpowiedź. $\operatorname{tg}\alpha = \sqrt{2}$, $\alpha \approx 54{,}7^\circ$, pole przekroju $8\sqrt{3}$.