Kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego do podstawy

Krok 1. Kąt liniowy kąta dwuściennego. Kąt między płaszczyznami mierzymy w płaszczyźnie prostopadłej do ich krawędzi wspólnej. Krawędzią jest $AB$. Niech $E$ będzie środkiem $AB$, a $O$ - środkiem podstawy. Wysokość ściany bocznej $SE$ jest prostopadła do $AB$ (trójkąt $ABS$ jest równoramienny), a $OE$ też jest prostopadłe do $AB$ (łączy środek kwadratu ze środkiem boku). Kątem nachylenia ściany do podstawy jest więc $\alpha = \angle OES$.

Krok 2. Trójkąt prostokątny OES (kąt prosty przy $O$, bo $SO$ to wysokość ostrosłupa):

$|OE| = \frac{a}{2} = 3, \qquad |SO| = 3\sqrt{3}.$

Krok 3. Kąt.

$\operatorname{tg}\alpha = \frac{|SO|}{|OE|} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 60^\circ.$

Krok 4. Wysokość ściany bocznej.

$|SE| = \sqrt{|SO|^2 + |OE|^2} = \sqrt{27 + 9} = 6.$

Uwaga: to nie jest kąt przy krawędzi bocznej. Krawędź boczna $SB$ tworzy z podstawą inny kąt - jej rzutem jest $OB$, a nie $OE$.

Odpowiedź. Ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem $60^\circ$, wysokość ściany bocznej wynosi $6$.