Ostrosłup prawidłowy trójkątny - ściana boczna nachylona do podstawy pod kątem 60°

Krok 1. Kąt liniowy. Krawędzią kąta dwuściennego jest $AB$. Jej środek $M$ łączymy z wierzchołkiem $S$ (wysokość ściany bocznej, $SM \perp AB$) i ze środkiem podstawy $O$ ($OM \perp AB$, bo $OM$ leży na wysokości trójkąta równobocznego). Kąt nachylenia to $\angle OMS = 60^\circ$.

Krok 2. Długość OM. Środek trójkąta równobocznego dzieli wysokość w stosunku $2 : 1$, więc $|OM|$ to promień okręgu wpisanego w podstawę:

$|OM| = r = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}.$

Krok 3. Wysokość ostrosłupa i ściany bocznej z trójkąta prostokątnego $OMS$:

$H = |OM| \operatorname{tg}60^\circ = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3, \qquad |SM| = \frac{|OM|}{\cos 60^\circ} = 2\sqrt{3}.$

Krok 4. Objętość. Pole podstawy: $P_p = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$.

$V = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 3 = 9\sqrt{3}.$

Odpowiedź. $H = 3$, wysokość ściany bocznej $2\sqrt{3}$, $V = 9\sqrt{3}$.