Równoległobok o bokach 9 i 7 z przekątną 8 - druga przekątna i kąty

Krok 1. Kąt $\alpha$ przy $A$ - z trójkąta $ABD$ o trzech znanych bokach $9$, $7$, $8$ (kąt $\alpha$ leży naprzeciw przekątnej $BD$):

$\cos\alpha = \frac{9^2 + 7^2 - 8^2}{2 \cdot 9 \cdot 7} = \frac{81 + 49 - 64}{126} = \frac{66}{126} = \frac{11}{21} \approx 0{,}5238, \qquad \alpha \approx 58{,}41^\circ.$

Drugi kąt: $180^\circ - \alpha \approx 121{,}59^\circ$.

Krok 2. Przekątna $AC$ - z trójkąta $ABC$. Kąt przy $B$ ma $180^\circ - \alpha$, a $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha = -\frac{11}{21}$:

$e^2 = 9^2 + 7^2 - 2 \cdot 9 \cdot 7 \cdot \left(-\frac{11}{21}\right) = 130 + 66 = 196, \qquad e = 14.$

Krok 3. Zależność ogólna. Dla boków $a$, $b$, kąta $\alpha$ i przekątnych $f$ (naprzeciw $\alpha$) oraz $e$ (naprzeciw $180^\circ - \alpha$):

$f^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\alpha, \qquad e^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos\alpha.$

Po dodaniu składniki z cosinusem się znoszą:

$e^2 + f^2 = 2(a^2 + b^2).$

Suma kwadratów przekątnych równoległoboku jest równa sumie kwadratów jego czterech boków. Sprawdzenie: $196 + 64 = 260 = 2 \cdot (81 + 49)$.

Skrót. Znając ten wzór, drugą przekątną dostajemy od razu: $e^2 = 2 \cdot 130 - 64 = 196$, bez liczenia kąta.

Odpowiedź. Kąty równoległoboku: około $58{,}41^\circ$ i $121{,}59^\circ$; druga przekątna $|AC| = 14$.