Przekątne równoległoboku o bokach 5 i 2√2 i kącie 45°

Krok 1. Krótsza przekątna $BD$. Przekątna $BD$ odcina trójkąt $ABD$, w którym znamy dwa boki i kąt między nimi ($45^\circ$ przy $A$). Twierdzenie cosinusów ($\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$):

$|BD|^2 = 5^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 25 + 8 - 20 = 13, \qquad |BD| = \sqrt{13}.$

Krok 2. Kąt rozwarty. Sąsiednie kąty równoległoboku sumują się do $180^\circ$, więc kąt przy $B$ ma $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$, a $\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Krok 3. Dłuższa przekątna $AC$ - z trójkąta $ABC$ ($|BC| = |AD| = 2\sqrt{2}$, kąt $135^\circ$ przy $B$):

$|AC|^2 = 5^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 25 + 8 + 20 = 53, \qquad |AC| = \sqrt{53}.$

Kontrola. W każdym równoległoboku suma kwadratów przekątnych jest równa sumie kwadratów wszystkich czterech boków: $13 + 53 = 66 = 2 \cdot (25 + 8)$. Zgadza się.

Uwaga: przekątne różnią się tylko znakiem ostatniego składnika ($-20$ i $+20$). Kto weźmie dwa razy $\cos 45^\circ$, dostanie dwie równe przekątne - a takie ma tylko prostokąt.

Odpowiedź. Przekątne mają długości $\sqrt{13} \approx 3{,}61$ i $\sqrt{53} \approx 7{,}28$.