Czworokąt o bokach 15, 7, 15, 8 z kątem 60° - przekątna, kąty i pole

Krok 1. a) Przekątna $BD$ - dzieli czworokąt na trójkąty $ABD$ i $BCD$. W trójkącie $ABD$ znamy dwa boki i kąt między nimi:

$|BD|^2 = 15^2 + 8^2 - 2 \cdot 15 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 225 + 64 - 120 = 169, \qquad |BD| = 13.$

Krok 2. b) Kąt przy $C$ - trójkąt $BCD$ ma teraz trzy znane boki $7$, $15$, $13$. Kąt $C$ leży naprzeciw $BD = 13$:

$\cos\angle C = \frac{7^2 + 15^2 - 13^2}{2 \cdot 7 \cdot 15} = \frac{49 + 225 - 169}{210} = \frac{105}{210} = \frac{1}{2}, \qquad |\angle BCD| = 60^\circ.$

Krok 3. c) Pole - suma pól obu trójkątów, każde z dwóch boków i kąta między nimi:

$P_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3}, \qquad P_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{105\sqrt{3}}{4},$

$P = 30\sqrt{3} + \frac{105\sqrt{3}}{4} = \frac{225\sqrt{3}}{4} \approx 97{,}43.$

Krok 4. d) Kąt $ABC$ składa się z kątów $ABD$ i $DBC$. Oba liczymy z cosinusa (z sinusa nie odróżnilibyśmy kąta rozwartego):

$\cos\angle ABD = \frac{15^2 + 13^2 - 8^2}{2 \cdot 15 \cdot 13} = \frac{330}{390} = \frac{11}{13} \approx 0{,}8462, \qquad |\angle ABD| \approx 32{,}20^\circ,$

$\cos\angle DBC = \frac{13^2 + 7^2 - 15^2}{2 \cdot 13 \cdot 7} = \frac{-7}{182} = -\frac{1}{26} \approx -0{,}0385, \qquad |\angle DBC| \approx 92{,}20^\circ.$

Cosinus ujemny - kąt $DBC$ jest rozwarty. Razem (sumujemy dokładniejsze wartości $32{,}204^\circ$ i $92{,}204^\circ$, żeby nie kumulować zaokrągleń): $|\angle ABC| \approx 124{,}41^\circ$.

Kontrola. Czwarty kąt czworokąta: $360^\circ - 60^\circ - 60^\circ - 124{,}41^\circ = 115{,}59^\circ$, czyli mniej niż $180^\circ$ - czworokąt jest wypukły, jak w treści.

Uwaga: przy kącie $DBC$ kalkulator z sinusa podałby $87{,}80^\circ$ zamiast $92{,}20^\circ$ - błąd niewidoczny na oko, bo oba kąty są bliskie prostego.

Odpowiedź. a) $|BD| = 13$; b) $|\angle BCD| = 60^\circ$; c) $P = \frac{225\sqrt{3}}{4} \approx 97{,}43$; d) $|\angle ABC| \approx 124{,}41^\circ$.