Romb o boku 10 i przekątnej 12 - kąty, druga przekątna i pole

Krok 1. Kąt $\alpha$ przy $A$. Przekątna $BD$ odcina trójkąt równoramienny $ABD$ o bokach $10$, $10$, $12$. Kąt $\alpha$ leży naprzeciw boku $BD$:

$\cos\alpha = \frac{10^2 + 10^2 - 12^2}{2 \cdot 10 \cdot 10} = \frac{200 - 144}{200} = \frac{56}{200} = 0{,}28, \qquad \alpha \approx 73{,}74^\circ.$

Krok 2. Drugi kąt rombu: $180^\circ - \alpha \approx 106{,}26^\circ$. Romb ma dwa kąty $73{,}74^\circ$ i dwa kąty $106{,}26^\circ$.

Krok 3. Przekątna $AC$ - z trójkąta $ABC$, w którym kąt przy $B$ ma $180^\circ - \alpha$, więc jego cosinus to $-0{,}28$:

$|AC|^2 = 10^2 + 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot (-0{,}28) = 200 + 56 = 256, \qquad |AC| = 16.$

Kontrola: przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą na połowy, więc $6^2 + 8^2 = 10^2$. Zgadza się.

Krok 4. Pole na dwa sposoby. Z przekątnych: $P = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96$. Z boku i kąta: $\sin\alpha = \sqrt{1 - 0{,}28^2} = \sqrt{0{,}9216} = 0{,}96$, więc

$P = a^2\sin\alpha = 100 \cdot 0{,}96 = 96.$

Odpowiedź. Kąty rombu: około $73{,}74^\circ$ i $106{,}26^\circ$; druga przekątna ma długość $16$; pole wynosi $96$.