Czworokąt wpisany w okrąg o bokach 3, 3, 8, 5 - kąty, przekątna, promień i pole

Krok 1. Własność czworokąta wpisanego. Przeciwległe kąty czworokąta wpisanego w okrąg sumują się do $180^\circ$. Oznaczmy $\alpha = |\angle BAD|$; wtedy $|\angle BCD| = 180^\circ - \alpha$ i

$\cos\angle BCD = \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha.$

Krok 2. Przekątna $BD$ na dwa sposoby. Z trójkąta $ABD$ i z trójkąta $CBD$:

$|BD|^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos\alpha = 34 - 30\cos\alpha,$

$|BD|^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot (-\cos\alpha) = 73 + 48\cos\alpha.$

Krok 3. a) Kąty. Obie prawe strony są równe:

$34 - 30\cos\alpha = 73 + 48\cos\alpha \quad\Longrightarrow\quad -39 = 78\cos\alpha \quad\Longrightarrow\quad \cos\alpha = -\frac{1}{2}.$

Zatem $|\angle BAD| = 120^\circ$ i $|\angle BCD| = 60^\circ$.

Krok 4. b) Przekątna:

$|BD|^2 = 34 - 30 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 49, \qquad |BD| = 7.$

Kontrola z drugiego trójkąta: $73 + 48 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 49$. Zgadza się.

Krok 5. c) Promień. Okrąg opisany na czworokącie jest też okręgiem opisanym na trójkącie $ABD$. Twierdzenie sinusów dla boku $BD$ i kąta $120^\circ$ naprzeciw niego:

$2R = \frac{|BD|}{\sin 120^\circ} = \frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{14}{\sqrt{3}}, \qquad R = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3} \approx 4{,}04.$

Ten sam promień daje trójkąt $BCD$: $\frac{7}{2\sin 60^\circ}$ - bo $\sin 60^\circ = \sin 120^\circ$.

Krok 6. d) Pole - suma pól trójkątów $ABD$ i $BCD$:

$P = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \sin 120^\circ + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot \sin 60^\circ = \frac{15\sqrt{3}}{4} + 6\sqrt{3} = \frac{39\sqrt{3}}{4} \approx 16{,}89.$

Uwaga: kluczowy jest znak w kroku 2. Kąty $A$ i $C$ są różne, ale ich cosinusy różnią się tylko znakiem - dzięki temu dwa równania mają jedną niewiadomą $\cos\alpha$.

Odpowiedź. a) $|\angle BAD| = 120^\circ$, $|\angle BCD| = 60^\circ$; b) $|BD| = 7$; c) $R = \frac{7\sqrt{3}}{3}$; d) $P = \frac{39\sqrt{3}}{4} \approx 16{,}89$.