Trapez: podstawy 10 i 5, ramię 6, kąt 60° - przekątne i drugie ramię

Krok 1. Przekątna $BD$ - z trójkąta $ABD$ (boki $10$ i $6$, kąt $60^\circ$ między nimi):

$|BD|^2 = 10^2 + 6^2 - 2 \cdot 10 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 136 - 60 = 76, \qquad |BD| = \sqrt{76} = 2\sqrt{19} \approx 8{,}72.$

Krok 2. Kąt przy $D$. Kąty przy jednym ramieniu trapezu sumują się do $180^\circ$ (podstawy są równoległe), więc $|\angle ADC| = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Krok 3. Przekątna $AC$ - z trójkąta $ACD$ (boki $6$ i $5$, kąt $120^\circ$ między nimi):

$|AC|^2 = 6^2 + 5^2 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 61 + 30 = 91, \qquad |AC| = \sqrt{91} \approx 9{,}54.$

Krok 4. Kąt między przekątną $BD$ a podstawą. Kąty $ABD$ i $BDC$ są naprzemianległe ($AB \parallel CD$), więc są równe. Cosinus kąta $ABD$ liczymy z trójkąta $ABD$:

$\cos\angle ABD = \frac{|AB|^2 + |BD|^2 - |AD|^2}{2 \cdot |AB| \cdot |BD|} = \frac{100 + 76 - 36}{2 \cdot 10 \cdot 2\sqrt{19}} = \frac{140}{40\sqrt{19}} = \frac{7}{2\sqrt{19}}.$

Krok 5. Ramię $BC$ - z trójkąta $BCD$ (boki $BD$ i $CD$ oraz kąt $BDC$ między nimi):

$|BC|^2 = 76 + 25 - 2 \cdot 2\sqrt{19} \cdot 5 \cdot \frac{7}{2\sqrt{19}} = 101 - 70 = 31, \qquad |BC| = \sqrt{31} \approx 5{,}57.$

Kontrola wysokością. Wysokość trapezu $h = 6\sin 60^\circ = 3\sqrt{3}$, a rzut ramienia $AD$ na podstawę to $6\cos 60^\circ = 3$. Rzut ramienia $BC$ ma więc $10 - 5 - 3 = 2$, skąd $|BC|^2 = 2^2 + (3\sqrt{3})^2 = 4 + 27 = 31$. Zgadza się.

Uwaga: trapez nie jest równoramienny, więc nie można przyjąć $|BC| = |AD| = 6$ ani $|AC| = |BD|$.

Odpowiedź. $|BD| = 2\sqrt{19} \approx 8{,}72$, $|AC| = \sqrt{91} \approx 9{,}54$, $|BC| = \sqrt{31} \approx 5{,}57$.