Sześciokąt foremny o boku 6 - przekątne AC, AD i odległość od środka boku

Krok 1. Kąt wewnętrzny. Suma kątów sześciokąta to $(6 - 2) \cdot 180^\circ = 720^\circ$, więc każdy kąt sześciokąta foremnego ma $720^\circ : 6 = 120^\circ$.

Krok 2. Przekątna $AC$ - z trójkąta $ABC$ (boki $6$ i $6$, kąt $120^\circ$ przy $B$):

$|AC|^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos 120^\circ = 36 + 36 + 36 = 108, \qquad |AC| = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}.$

Krok 3. Kąt $ACD$. Trójkąt $ABC$ jest równoramienny, więc kąty przy $A$ i $C$ są równe: $\frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ$. Stąd

$|\angle ACD| = 120^\circ - 30^\circ = 90^\circ.$

Krok 4. Przekątna $AD$ - z trójkąta $ACD$. Twierdzenie cosinusów z $\cos 90^\circ = 0$ to po prostu twierdzenie Pitagorasa:

$|AD|^2 = |AC|^2 + |CD|^2 - 2 \cdot |AC| \cdot |CD| \cdot \cos 90^\circ = 108 + 36 - 0 = 144, \qquad |AD| = 12.$

To dwa boki - zgodnie z tym, że sześciokąt foremny składa się z sześciu trójkątów równobocznych, a $AD$ przechodzi przez jego środek.

Krok 5. Odcinek $AM$ - w trójkącie $ACM$ kąt przy $C$ jest prosty, a $|CM| = 3$:

$|AM|^2 = 108 + 9 = 117, \qquad |AM| = \sqrt{117} = 3\sqrt{13} \approx 10{,}82.$

Kontrola innym trójkątem. W trójkącie $ADM$: $|AD| = 12$, $|DM| = 3$, a kąt przy $D$ ma $60^\circ$ (przekątna $AD$ dzieli kąt $120^\circ$ na połowy). Twierdzenie cosinusów: $144 + 9 - 2 \cdot 12 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 153 - 36 = 117$. Ten sam wynik.

Odpowiedź. $|AC| = 6\sqrt{3}$, $|AD| = 12$, $|AM| = 3\sqrt{13} \approx 10{,}82$.