Indukcja matematyczna - suma odwrotności kwadratów nie przekracza 2 − 1/n

Krok 1. Sprawdzenie dla n = 1 (baza). Lewa strona: $1$. Prawa strona: $2 - \frac{1}{1} = 1$. Zachodzi $1 \le 1$.

Krok 2. Założenie i teza. Oznaczmy $S_n = 1 + \frac{1}{2^2} + \ldots + \frac{1}{n^2}$. Zakładamy, że dla pewnego $k \ge 1$ zachodzi $S_k \le 2 - \frac{1}{k}$. Teza: $S_{k + 1} \le 2 - \frac{1}{k + 1}$.

Krok 3. Dowód kroku. Z założenia

$S_{k + 1} = S_k + \frac{1}{(k + 1)^2} \le 2 - \frac{1}{k} + \frac{1}{(k + 1)^2}.$

Wystarczy więc pokazać, że

$2 - \frac{1}{k} + \frac{1}{(k + 1)^2} \le 2 - \frac{1}{k + 1}, \quad\text{czyli}\quad \frac{1}{(k + 1)^2} \le \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}.$

Prawą stronę sprowadzamy do wspólnego mianownika: $\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} = \frac{1}{k(k + 1)}$. Nierówność $\frac{1}{(k + 1)^2} \le \frac{1}{k(k + 1)}$ jest prawdziwa, bo mianowniki są dodatnie i $k(k + 1) < (k + 1)^2$ (po podzieleniu przez $k + 1$: $k < k + 1$). Zatem $S_{k + 1} \le 2 - \frac{1}{k + 1}$.

Odpowiedź. Na mocy zasady indukcji matematycznej $S_n \le 2 - \frac{1}{n}$ dla każdego $n \ge 1$, a ponieważ $2 - \frac{1}{n} < 2$, każda taka suma jest mniejsza od $2$.

Ciekawostka: bezpośrednio nierówności $S_n < 2$ nie da się udowodnić indukcją - założenie $S_k < 2$ jest za słabe, bo nie mówi, ile brakuje do $2$. Dopiero mocniejsza teza $S_n \le 2 - \frac{1}{n}$ „zostawia miejsce” na kolejny składnik. (Dokładna wartość granicy to $\frac{\pi^2}{6} \approx 1{,}645$.)