Indukcja matematyczna - ostra nierówność Bernoulliego dla n ≥ 2

Krok 1. Sprawdzenie dla n = 2 (baza). Ze wzoru skróconego mnożenia

$(1 + x)^2 = 1 + 2x + x^2.$

Ponieważ $x \ne 0$, mamy $x^2 > 0$, więc $(1 + x)^2 > 1 + 2x$. Dla $n = 1$ nierówność ostra nie zachodzi (obie strony są równe $1 + x$) - stąd baza $n = 2$.

Krok 2. Założenie i teza. Zakładamy, że dla pewnego $k \ge 2$ zachodzi $(1 + x)^k > 1 + kx$. Teza: $(1 + x)^{k + 1} > 1 + (k + 1)x$.

Krok 3. Dowód kroku. Z warunku $x > -1$ wynika $1 + x > 0$, więc możemy pomnożyć obie strony założenia przez $1 + x$, nie zmieniając kierunku nierówności:

$(1 + x)^{k + 1} > (1 + kx)(1 + x) = 1 + x + kx + kx^2 = 1 + (k + 1)x + kx^2.$

Ponieważ $k \ge 2 > 0$ i $x^2 > 0$, składnik $kx^2$ jest dodatni, zatem

$1 + (k + 1)x + kx^2 > 1 + (k + 1)x.$

Łącząc oba oszacowania, dostajemy tezę.

Odpowiedź. Na mocy zasady indukcji matematycznej $(1 + x)^n > 1 + nx$ dla $x > -1$, $x \ne 0$ i każdego $n \ge 2$.

Oba założenia o $x$ są potrzebne: przy $x = 0$ zachodzi równość, a warunek $1 + x > 0$ pozwolił pomnożyć nierówność ostrą bez zmiany jej kierunku. Wersję nieostrą (z $\ge$) dla $n \ge 1$ omawia strona o indukcji.