Indukcja matematyczna - suma 1/√1 + 1/√2 + ... + 1/√n ≥ √n

Krok 1. Sprawdzenie dla n = 1 (baza). Lewa strona: $\frac{1}{\sqrt{1}} = 1$, prawa: $\sqrt{1} = 1$. Zachodzi $1 \ge 1$.

Krok 2. Założenie i teza. Oznaczmy lewą stronę przez $T_n$. Zakładamy, że dla pewnego $k \ge 1$ zachodzi $T_k \ge \sqrt{k}$. Teza: $T_{k + 1} \ge \sqrt{k + 1}$.

Krok 3. Dowód kroku. Z założenia

$T_{k + 1} = T_k + \frac{1}{\sqrt{k + 1}} \ge \sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k + 1}}.$

Wystarczy pokazać, że $\sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k + 1}} \ge \sqrt{k + 1}$. Mnożymy obie strony przez dodatnią liczbę $\sqrt{k + 1}$:

$\sqrt{k}\sqrt{k + 1} + 1 \ge k + 1, \quad\text{czyli}\quad \sqrt{k(k + 1)} \ge k.$

Ta nierówność jest prawdziwa, bo $k(k + 1) = k^2 + k \ge k^2$, a pierwiastek jest funkcją rosnącą: $\sqrt{k^2 + k} \ge \sqrt{k^2} = k$. Zatem $T_{k + 1} \ge \sqrt{k + 1}$.

Odpowiedź. Na mocy zasady indukcji matematycznej $\frac{1}{\sqrt{1}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n}} \ge \sqrt{n}$ dla każdego $n \ge 1$ (dla $n \ge 2$ nierówność jest nawet ostra). Na przykład dla $n = 4$: $1 + 0{,}707 + 0{,}577 + 0{,}5 \approx 2{,}78 \ge 2$.