Indukcja matematyczna - nierówność 3ⁿ > 2n + 1 dla n ≥ 2

Szkoła średnia łatwe

Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej $n \ge 2$ zachodzi nierówność

$3^n > 2n + 1.$

Sprawdź też, dlaczego nie można zacząć od $n = 1$ .

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Sprawdzenie dla n = 2 (baza). $3^2 = 9$ oraz $2 \cdot 2 + 1 = 5$ , a $9 > 5$ .

Dla $n = 1$ mamy $3^1 = 3$ i $2 \cdot 1 + 1 = 3$ - równość, a nie nierówność ostra. Dlatego bazą jest $n = 2$ .

Krok 2. Założenie i teza. Zakładamy, że dla pewnego $k \ge 2$ zachodzi $3^k > 2k + 1$ . Teza: $3^{k + 1} > 2(k + 1) + 1 = 2k + 3$ .

Krok 3. Dowód kroku. Mnożymy obie strony założenia przez $3$ (liczba dodatnia, znak się nie zmienia):

$3^{k + 1} = 3 \cdot 3^k > 3(2k + 1) = 6k + 3.$

Pozostaje porównać $6k + 3$ z $2k + 3$ . Różnica wynosi $4k > 0$ , więc $6k + 3 > 2k + 3$ . Łącząc:

$3^{k + 1} > 6k + 3 > 2k + 3.$

To jest teza.

Odpowiedź. Na mocy zasady indukcji matematycznej $3^n > 2n + 1$ dla każdego $n \ge 2$ (dla $n = 1$ zachodzi równość $3 = 3$ ).