Indukcja matematyczna - suma 1/(n+1) + ... + 1/(2n) > 13/24

Krok 1. Sprawdzenie dla n = 2 (baza). Suma ma dwa składniki:

$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12} = \frac{14}{24} > \frac{13}{24}.$

Dla $n = 1$ suma to $\frac{1}{2} = \frac{12}{24}$, więc nierówność nie zachodzi - bazą jest $n = 2$.

Krok 2. Założenie i teza. Oznaczmy $S_n = \frac{1}{n + 1} + \ldots + \frac{1}{2n}$. Zakładamy, że $S_k > \frac{13}{24}$ dla pewnego $k \ge 2$. Teza: $S_{k + 1} > \frac{13}{24}$.

Krok 3. Dowód kroku. Uwaga na pułapkę: przy przejściu od $k$ do $k + 1$ suma nie dostaje jednego składnika na końcu. Porównajmy obie sumy:

$S_k = \frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} + \ldots + \frac{1}{2k}, \qquad S_{k + 1} = \frac{1}{k + 2} + \ldots + \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k + 1} + \frac{1}{2k + 2}.$

Z przodu znika składnik $\frac{1}{k + 1}$, a na końcu dochodzą dwa. Zatem

$S_{k + 1} - S_k = \frac{1}{2k + 1} + \frac{1}{2k + 2} - \frac{1}{k + 1} = \frac{1}{2k + 1} - \frac{1}{2k + 2},$

bo $\frac{1}{k + 1} = \frac{2}{2k + 2}$. Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika:

$S_{k + 1} - S_k = \frac{1}{(2k + 1)(2k + 2)} > 0.$

Stąd $S_{k + 1} > S_k > \frac{13}{24}$.

Odpowiedź. Na mocy zasady indukcji matematycznej $\frac{1}{n + 1} + \ldots + \frac{1}{2n} > \frac{13}{24}$ dla każdego $n \ge 2$.

Krok pokazał więcej: ciąg $S_n$ jest rosnący. Rośnie jednak coraz wolniej i nigdy nie przekroczy $\ln 2 \approx 0{,}693$ (to jego granica).