Cztery rozwiązania równania x⁴ + 2(m − 1)x² + m + 5 = 0

Krok 1. Podstawienie. Niech $t = x^2$, gdzie $t \ge 0$:

$t^2 + 2(m - 1)t + m + 5 = 0.$

Każde dodatnie $t$ daje dwa rozwiązania $x = \pm\sqrt{t}$, $t = 0$ daje jedno, a ujemne - żadne. Cztery różne $x$ dostaniemy więc tylko z dwóch różnych dodatnich pierwiastków $t$:

$\begin{cases} \Delta_t > 0 \\ t_1 + t_2 > 0 \\ t_1 \cdot t_2 > 0 \end{cases}$

Krok 2. Delta.

$\Delta_t = 4(m - 1)^2 - 4(m + 5) = 4(m^2 - 3m - 4) = 4(m - 4)(m + 1) > 0,$

skąd $m \in (-\infty;\ -1) \cup (4;\ +\infty)$.

Krok 3. Suma pierwiastków (wzory Viète’a).

$t_1 + t_2 = -2(m - 1) > 0 \quad\Longrightarrow\quad m < 1.$

Krok 4. Iloczyn pierwiastków.

$t_1 \cdot t_2 = m + 5 > 0 \quad\Longrightarrow\quad m > -5.$

Krok 5. Część wspólna. Z warunków $m < -1$ lub $m > 4$, $m < 1$ i $m > -5$ zostaje przedział $(-5;\ -1)$.

Krok 6. Sprawdzenie. Dla $m = -3$: $t^2 - 8t + 2 = 0$, $t = 4 \pm \sqrt{14}$ - obie liczby dodatnie ($4 - \sqrt{14} \approx 0{,}26$), więc są cztery rozwiązania $x$. Na krańcach: dla $m = -1$ mamy $(t - 2)^2 = 0$ i tylko $x = \pm\sqrt{2}$, a dla $m = -5$ mamy $t(t - 12) = 0$ i rozwiązania $x \in \{0, -2\sqrt{3}, 2\sqrt{3}\}$ - w obu przypadkach mniej niż cztery.

Uwaga: sam warunek $\Delta_t > 0$ to za mało - np. dla $m = 5$ oba pierwiastki $t$ są ujemne (suma $-8$) i równanie nie ma żadnego rozwiązania.

Odpowiedź. $m \in (-5;\ -1)$.