Liczba rozwiązań równania x⁴ − (2m + 1)x² + m² − 1 = 0 w zależności od m

Krok 1. Podstawienie $t = x^2$, $t \ge 0$.

$t^2 - (2m + 1)t + m^2 - 1 = 0.$

Dodatnie $t$ daje dwa rozwiązania $x$, $t = 0$ - jedno ($x = 0$), ujemne $t$ - żadnego.

Krok 2. Delta, suma i iloczyn.

$\Delta_t = (2m + 1)^2 - 4(m^2 - 1) = 4m + 5, \qquad t_1 + t_2 = 2m + 1, \qquad t_1 t_2 = m^2 - 1 = (m - 1)(m + 1).$

Krok 3. Brak pierwiastków $t$ lub pierwiastek podwójny. $\Delta_t < 0$ dla $m < -\tfrac{5}{4}$ - brak $t$, więc 0 rozwiązań. Dla $m = -\tfrac{5}{4}$ jest pierwiastek podwójny $t_0 = \tfrac{2m + 1}{2} = -\tfrac{3}{4} < 0$ - też 0 rozwiązań.

Krok 4. Dwa różne pierwiastki $t$ ($m > -\tfrac{5}{4}$). O znakach decyduje iloczyn:

• $-\tfrac{5}{4} < m < -1$: iloczyn dodatni, suma $2m + 1 < -1 < 0$, więc oba $t$ ujemne - 0 rozwiązań;
• $m = -1$: równanie $t^2 + t = 0$, czyli $t = 0$ lub $t = -1$ - zostaje tylko $x = 0$, 1 rozwiązanie;
• $-1 < m < 1$: iloczyn ujemny, więc jedno $t$ dodatnie i jedno ujemne - 2 rozwiązania;
• $m = 1$: równanie $t^2 - 3t = 0$, czyli $t = 0$ lub $t = 3$ - rozwiązania $x = 0$, $x = \pm\sqrt{3}$, 3 rozwiązania;
• $m > 1$: iloczyn i suma dodatnie, oba $t$ dodatnie - 4 rozwiązania.

Krok 5. Zestawienie. Przedziały z kroków 3 i 4 dla zera rozwiązań łączą się w jeden: $m < -1$.

Uwaga: w przedziale $\left(-\tfrac{5}{4};\ -1\right)$ delta jest dodatnia, a rozwiązań nie ma wcale - bez sprawdzenia znaku sumy łatwo tu wpisać „4”.

Odpowiedź. Brak rozwiązań dla $m \in (-\infty;\ -1)$, jedno dla $m = -1$, dwa dla $m \in (-1;\ 1)$, trzy dla $m = 1$, cztery dla $m \in (1;\ +\infty)$.