Równanie x³ + 2x² + (m − 3)x − m = 0 - trzy różne rozwiązania

Krok 1. Pierwiastek niezależny od $m$. Suma współczynników wynosi

$1 + 2 + (m - 3) - m = 0,$

a suma współczynników to wartość wielomianu w punkcie $1$. Zatem $x = 1$ jest pierwiastkiem dla każdego $m$.

Krok 2. Dzielimy przez $(x - 1)$ schematem Hornera.

$x^3 + 2x^2 + (m - 3)x - m = (x - 1)(x^2 + 3x + m).$

Krok 3. Trójmian musi mieć dwa różne pierwiastki.

$\Delta = 9 - 4m > 0 \quad\Longrightarrow\quad m < \frac{9}{4}.$

Krok 4. Żaden z nich nie może być równy $1$. Podstawiamy $x = 1$ do trójmianu:

$1 + 3 + m = 0 \quad\Longrightarrow\quad m = -4.$

Dla $m = -4$: $x^2 + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4)$, równanie ma tylko rozwiązania $1$ i $-4$ (liczba $1$ jest wtedy pierwiastkiem podwójnym). Wykluczamy tę wartość.

Krok 5. Część wspólna. $m < \tfrac{9}{4}$ i $m \neq -4$.

Odpowiedź. $m \in (-\infty;\ -4) \cup \left(-4;\ \tfrac{9}{4}\right)$.