Równanie (x − 1)(x² + mx + 4) = 0 z dokładnie dwoma rozwiązaniami

Krok 1. Rozwiązanie pewne. Czynnik $x - 1$ daje $x = 1$ dla każdego $m$. Trójmian $x^2 + mx + 4$ musi więc dołożyć dokładnie jedną nową liczbę. Są dwa sposoby, żeby tak się stało.

Krok 2. Scenariusz A: trójmian ma pierwiastek podwójny.

$\Delta = m^2 - 16 = 0 \quad\Longrightarrow\quad m = 4 \ \text{ lub } \ m = -4.$

Dla $m = 4$: $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$, rozwiązania $\{1, -2\}$. Dla $m = -4$: $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$, rozwiązania $\{1, 2\}$. W obu przypadkach pierwiastek podwójny jest różny od $1$, więc rozwiązania są dwa.

Krok 3. Scenariusz B: trójmian ma dwa pierwiastki, a jeden z nich to $1$. Podstawiamy $x = 1$ do trójmianu:

$1 + m + 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad m = -5.$

Wtedy $x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)$, a równanie to $(x - 1)^2(x - 4) = 0$ z rozwiązaniami $\{1, 4\}$ - też dwa.

Krok 4. Pozostałe przypadki - dla kontroli.

Uwaga: najłatwiej zgubić $m = -5$. Dla tej wartości $\Delta = 9 > 0$, więc „na delcie” wyglądałoby na trzy rozwiązania.

Odpowiedź. $m \in \{-5,\ -4,\ 4\}$.