Metoda graficzna: ile rozwiązań ma równanie x³ − 3x = m

Krok 1. Interpretacja. Rozwiązania równania $x^3 - 3x = m$ to odcięte punktów wspólnych wykresu $y = x^3 - 3x$ z poziomą prostą $y = m$. Wystarczy policzyć, ile razy prosta przecina wykres na każdej wysokości.

Krok 2. Sprawdzenie górki. Dla $m = 2$ równanie ma postać $x^3 - 3x - 2 = 0$. Liczba $-1$ jest pierwiastkiem: $-1 + 3 - 2 = 0$. Rozkład:

$x^3 - 3x - 2 = (x + 1)^2(x - 2).$

Pierwiastek $-1$ jest podwójny, więc prosta $y = 2$ tylko dotyka wykresu w punkcie $(-1,\ 2)$ - to dokładnie górka. Drugi punkt wspólny ma odciętą $2$.

Krok 3. Sprawdzenie dołka. Dla $m = -2$: $x^3 - 3x + 2 = 0$, a $1$ jest pierwiastkiem ($1 - 3 + 2 = 0$):

$x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^2(x + 2).$

Prosta $y = -2$ dotyka wykresu w $(1,\ -2)$ i przecina go w punkcie o odciętej $-2$.

Krok 4. Przesuwamy prostą $y = m$.

• $m > 2$: prosta leży wyżej niż górka - przecina tylko prawą gałąź, 1 rozwiązanie;
• $m = 2$: dotknięcie w $-1$ i przecięcie w $2$ - 2 rozwiązania;
• $-2 < m < 2$: prosta przecina wszystkie trzy „fale” - 3 rozwiązania (np. dla $m = 0$: $x(x^2 - 3) = 0$, czyli $x \in \{-\sqrt{3}, 0, \sqrt{3}\}$);
• $m = -2$: przecięcie w $-2$ i dotknięcie w $1$ - 2 rozwiązania;
• $m < -2$: tylko lewa gałąź - 1 rozwiązanie.

Odpowiedź. Jedno rozwiązanie dla $m \in (-\infty;\ -2) \cup (2;\ +\infty)$, dwa dla $m \in \{-2,\ 2\}$, trzy dla $m \in (-2;\ 2)$.