Trzy rozwiązania równania (x + 2)(x² − 6x + m) = 0

Krok 1. Rozwiązanie pewne. Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się któryś czynnik. Czynnik $x + 2$ daje $x = -2$ dla każdego $m$.

Krok 2. Trójmian musi mieć dwa różne pierwiastki. Pozostałe dwa rozwiązania musi dać $x^2 - 6x + m$, więc

$\Delta = 36 - 4m > 0 \quad\Longrightarrow\quad m < 9.$

Krok 3. Żaden z nich nie może być równy $-2$. Gdyby $-2$ było pierwiastkiem trójmianu, rozwiązania by się pokryły. Podstawiamy:

$(-2)^2 - 6 \cdot (-2) + m = 16 + m = 0 \quad\Longrightarrow\quad m = -16.$

Sprawdzenie: dla $m = -16$ trójmian to $x^2 - 6x - 16 = (x + 2)(x - 8)$, a równanie ma tylko dwa rozwiązania, $-2$ i $8$. Tę wartość trzeba wykluczyć.

Krok 4. Część wspólna. $m < 9$ i $m \neq -16$.

Uwaga: dla $m = -16$ delta jest dodatnia ($\Delta = 100$), a mimo to rozwiązania są tylko dwa. Sam warunek $\Delta > 0$ nie wystarcza.

Odpowiedź. $m \in (-\infty;\ -16) \cup (-16;\ 9)$.