Dla jakich x szereg 3 + 3(1 − 2x) + 3(1 − 2x)² + … jest zbieżny?

Krok 1. Iloraz i warunek zbieżności. $a_1 = 3$, $q = 1 - 2x$. Szereg jest zbieżny, gdy

$|1 - 2x| < 1 \iff -1 < 1 - 2x < 1 \iff -2 < -2x < 0 \iff 0 < x < 1$

Krok 2. Suma. Dla $x \in (0, 1)$:

$S(x) = \frac{3}{1 - (1 - 2x)} = \frac{3}{2x}$

Krok 3. Część b).

$\frac{3}{2x} = 6 \iff 2x = \frac{1}{2} \iff x = \frac{1}{4}$

Liczba $\frac{1}{4}$ należy do przedziału $(0, 1)$, więc rozwiązanie jest dobre. Wtedy $q = \frac{1}{2}$ i szereg to $3 + \frac{3}{2} + \frac{3}{4} + \ldots = 6$.

Odpowiedź. a) Szereg jest zbieżny dla $x \in (0, 1)$, a jego suma to $S(x) = \dfrac{3}{2x}$. b) $x = \dfrac{1}{4}$.

Na krańcach przedziału szereg jest rozbieżny: dla $x = 0$ to $3 + 3 + 3 + \ldots$, a dla $x = 1$ to $3 - 3 + 3 - \ldots$ (sumy częściowe skaczą między $3$ i $0$).