Trójkąty równoboczne wpisane jeden w drugi - suma pól i obwodów

Krok 1. Skala. Odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równy połowie trzeciego boku. Bok każdego kolejnego trójkąta jest więc $2$ razy krótszy: $6,\ 3,\ \frac{3}{2}, \ldots$

Krok 2. Suma obwodów. Obwody to $18,\ 9,\ \frac{9}{2}, \ldots$ - szereg o $a_1 = 18$ i $q = \frac{1}{2}$:

$S_O = \frac{18}{1 - \frac{1}{2}} = 36$

Krok 3. Suma pól. Pole trójkąta równobocznego o boku $a$ to $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, więc pierwsze pole wynosi $\frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$. Bok maleje $2$ razy, więc pole maleje $2^2 = 4$ razy - szereg o $q = \frac{1}{4}$:

$S_P = \frac{9\sqrt{3}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{9\sqrt{3}}{\frac{3}{4}} = 12\sqrt{3}$

Odpowiedź. Suma obwodów wynosi $36$, a suma pól $12\sqrt{3} \approx 20{,}78$.

Pułapka: iloraz dla pól to kwadrat skali boków ($\frac{1}{4}$), a nie sama skala ($\frac{1}{2}$). Przy $q = \frac{1}{2}$ wyszłoby błędnie $18\sqrt{3}$.