Równanie 1 + 2x + 4x² + 8x³ + … = 5/3

Krok 1. Rozpoznajemy szereg. Lewa strona to szereg geometryczny o $a_1 = 1$ i $q = 2x$ (każdy wyraz to poprzedni pomnożony przez $2x$).

Krok 2. Warunek zbieżności. Suma istnieje tylko dla

$|2x| < 1 \iff -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$

Krok 3. Równanie z sumą.

$\frac{1}{1 - 2x} = \frac{5}{3} \iff 1 - 2x = \frac{3}{5} \iff 2x = \frac{2}{5} \iff x = \frac{1}{5}$

Krok 4. Sprawdzamy warunek. $\frac{1}{5} \in \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ - rozwiązanie jest dobre. Iloraz to $q = \frac{2}{5}$, a suma $\frac{1}{1 - \frac{2}{5}} = \frac{5}{3}$.

Odpowiedź. $x = \dfrac{1}{5}$.