Zamiana ułamka okresowego 0,(36) na ułamek zwykły

Krok 1. Zapisujemy ułamek jako szereg. Okres $36$ powtarza się co dwa miejsca po przecinku:

$0{,}(36) = 0{,}36 + 0{,}0036 + 0{,}000036 + \ldots = \frac{36}{100} + \frac{36}{10\,000} + \frac{36}{1\,000\,000} + \ldots$

Krok 2. Pierwszy wyraz i iloraz. $a_1 = \frac{36}{100}$, $q = \frac{1}{100}$, $|q| < 1$ - szereg jest zbieżny.

Krok 3. Suma:

$S = \frac{\frac{36}{100}}{1 - \frac{1}{100}} = \frac{\frac{36}{100}}{\frac{99}{100}} = \frac{36}{99} = \frac{4}{11}$

Odpowiedź. $0{,}(36) = \dfrac{4}{11}$.

Sprawdzenie dzieleniem pisemnym: $4 : 11 = 0{,}363636\ldots$ Przy okazji widać ogólną regułę: okres dwucyfrowy $\overline{ab}$ daje ułamek $\frac{\overline{ab}}{99}$.