Suma szeregu wynosi 9, a drugi wyraz 2 - wyznacz szereg

Krok 1. Układ równań. Drugi wyraz to $a_1 q$, a suma (przy $|q| < 1$) to $\frac{a_1}{1 - q}$:

$\begin{cases} a_1 q = 2 \\ \dfrac{a_1}{1 - q} = 9 \end{cases}$

Krok 2. Podstawienie. Z drugiego równania $a_1 = 9(1 - q)$. Wstawiamy do pierwszego:

$9(1 - q)q = 2 \iff 9q - 9q^2 = 2 \iff 9q^2 - 9q + 2 = 0$

Krok 3. Równanie kwadratowe. $\Delta = 81 - 72 = 9$, $\sqrt{\Delta} = 3$:

$q = \frac{9 - 3}{18} = \frac{1}{3} \qquad q = \frac{9 + 3}{18} = \frac{2}{3}$

Oba ilorazy spełniają warunek $|q| < 1$.

Krok 4. Pierwszy wyraz. Dla $q = \frac{1}{3}$: $a_1 = 9 \cdot \frac{2}{3} = 6$. Dla $q = \frac{2}{3}$: $a_1 = 9 \cdot \frac{1}{3} = 3$.

Odpowiedź. Są dwa takie szeregi: $a_1 = 6$, $q = \frac{1}{3}$ (czyli $6 + 2 + \frac{2}{3} + \ldots$) oraz $a_1 = 3$, $q = \frac{2}{3}$ (czyli $3 + 2 + \frac{4}{3} + \ldots$).

Sprawdzenie: $\frac{6}{1 - \frac{1}{3}} = 9$ i $\frac{3}{1 - \frac{2}{3}} = 9$. Pominięcie drugiego rozwiązania to najczęstsza strata punktów w tym zadaniu.