Ile jest układów pięciu kart z dokładnie dwoma asami? Kombinacje

Krok 1. Model. Ręka to $5$-elementowy podzbiór talii - kolejność się nie liczy, więc liczymy kombinacje:

$$\binom{52}{5} = \frac{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 2\,598\,960.$$

Krok 2. Dokładnie dwa asy - dzielimy wybór na dwa etapy. „Dokładnie dwa” znaczy: dwa asy i trzy karty, które asami nie są. Asy wybieramy z $4$, pozostałe karty z $52 - 4 = 48$:

$$\binom{4}{2} = 6, \qquad \binom{48}{3} = \frac{48 \cdot 47 \cdot 46}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 17\,296.$$

Krok 3. Reguła mnożenia. Każdą parę asów można połączyć z każdą trójką pozostałych kart:

$$\binom{4}{2} \cdot \binom{48}{3} = 6 \cdot 17\,296 = 103\,776.$$

Typowy błąd to $\binom{4}{2} \cdot \binom{50}{3}$ - wtedy trzy „pozostałe” karty mogłyby zawierać kolejne asy i układ nie miałby już dokładnie dwóch.

Krok 4. Karty jednego koloru. Najpierw wybieramy kolor ($4$ sposoby), potem $5$ kart spośród $13$ kart tego koloru:

$$4 \cdot \binom{13}{5} = 4 \cdot 1287 = 5148.$$

Odpowiedź. a) $2\,598\,960$ układów; b) $103\,776$ układów z dokładnie dwoma asami; c) $5148$ układów z kart jednego koloru.