Symbol Newtona - obliczanie i własności

Krok 1. Punkt a) - korzystamy z symetrii. Własność $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ pozwala zamienić $17$ na $20 - 17 = 3$. Wybrać $17$ osób z $20$ to to samo, co wskazać $3$, które nie zostaną wybrane:

$\binom{20}{17} = \binom{20}{3} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{6840}{6} = 1140.$

Krok 2. Punkt b) - liczymy każdy składnik. Z symetrii $\binom{9}{5} = \binom{9}{4}$, a

$\binom{9}{4} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{3024}{24} = 126.$

Zatem suma to $126 + 126 = 252$.

Krok 3. Sprawdzenie wzorem z trójkąta Pascala. Z zależności $\binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} = \binom{n}{k}$ dla $n = 10$, $k = 5$:

$\binom{9}{4} + \binom{9}{5} = \binom{10}{5} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{120} = 252.$

Odpowiedź. a) $1140$; b) $252$.