Uściski dłoni - ile osób było na spotkaniu? Kombinacje

Krok 1. Liczba uścisków jako kombinacja. Uścisk dłoni to wybór pary osób, a kolejność w parze nie ma znaczenia (uścisk Ani z Bartkiem to ten sam uścisk co Bartka z Anią). Przy $n$ uczestnikach uścisków jest

$\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}.$

Krok 2. Układamy równanie.

$\frac{n(n-1)}{2} = 66 \quad\Longrightarrow\quad n^2 - n - 132 = 0.$

Krok 3. Rozwiązujemy równanie kwadratowe. $\Delta = 1 + 4 \cdot 132 = 529$, $\sqrt{\Delta} = 23$:

$n_1 = \frac{1 - 23}{2} = -11, \qquad n_2 = \frac{1 + 23}{2} = 12.$

Krok 4. Wybieramy sensowne rozwiązanie. Liczba osób jest naturalna, więc $n = 12$. Sprawdzenie: $\frac{12 \cdot 11}{2} = 66$.

Odpowiedź. W turnieju było $12$ uczestników.