Ile trójkątów wyznaczają punkty na dwóch prostych równoległych?

Krok 1. Kiedy trzy punkty tworzą trójkąt. Trzy punkty leżące na jednej prostej nie tworzą trójkąta. Wierzchołki muszą więc leżeć na obu prostych: dwa na jednej i jeden na drugiej. Są dwa rozłączne przypadki.

Krok 2. Dwa wierzchołki na $k$, jeden na $l$. Parę punktów z $8$ wybieramy na $\binom{8}{2}$ sposobów, punkt z $5$ - na $5$ sposobów:

$\binom{8}{2} \cdot 5 = 28 \cdot 5 = 140.$

Krok 3. Dwa wierzchołki na $l$, jeden na $k$.

$\binom{5}{2} \cdot 8 = 10 \cdot 8 = 80.$

Krok 4. Reguła dodawania.

$140 + 80 = 220.$

Sprawdzenie przez dopełnienie. Wszystkich trójek punktów jest $\binom{13}{3} = 286$. Trójek współliniowych jest $\binom{8}{3} + \binom{5}{3} = 56 + 10 = 66$, a $286 - 66 = 220$.

Odpowiedź. Jest $220$ takich trójkątów.