Ile przekątnych ma dwunastokąt? Kombinacje

Krok 1. Każdy odcinek to para wierzchołków. Dowolne dwa z $12$ wierzchołków wyznaczają jeden odcinek, a kolejność wierzchołków nie ma znaczenia. Wszystkich odcinków jest

$\binom{12}{2} = \frac{12 \cdot 11}{2} = 66.$

Krok 2. Odejmujemy boki. Wśród tych odcinków są boki wielokąta - jest ich $12$. Pozostałe odcinki to przekątne:

$66 - 12 = 54.$

Krok 3. Sprawdzenie ogólnym wzorem. Z każdego wierzchołka wychodzi $n - 3$ przekątnych (nie do siebie i nie do dwóch sąsiadów), a każdą przekątną liczymy dwa razy:

$\frac{n(n-3)}{2} = \frac{12 \cdot 9}{2} = 54.$

Odpowiedź. Dwunastokąt wypukły ma $54$ przekątne.